Question

如圖所示，已知橢圓M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的四個頂點構成邊長為5的菱形，原點O到直線AB的距離為

12

5

，其A（0，a），B（-b，0）．直線l：x=my+n與橢圓M相交于C，D兩點，且以CD為直徑的圓過橢圓的右頂點P（其中點C，D與點P不重合）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）試判斷直線l與x軸是否交于定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由截距式可得直線AB的方程，由點O到直線AB的距離為

12

5

可得

|ab|

a2+b2

=

12

5

①，由四個頂點構成菱形可得a²+b²=25②，聯立①②解得a，b；
（2）設C（x₁，y₁）D（x₂，y₂），將x=my+n代入橢圓方程消掉x可得y的二次方程，由于以CD為直徑的圓過橢圓的右頂點P，則可得

PC

•

PD

=0，根據向量數量積運算及韋達定理可得m，n的方程，由此可求出n，然后代入直線方程，可求得定點；

解答：解：（1）直線AB的方程為

x

-b

+

y

a

=1，即ax-by+ab=0，
∴原點O到直線AB的距離為

|ab|

a2+b2

=

12

5

①，
由四個頂點構成菱形可得a²+b²=25②，
聯立①②解得a=4，b=3，
∴橢圓M的方程為

y2

16

+

x2

9

=1；
（2）由（1）知P（3，0），設C（x₁，y₁）D（x₂，y₂），
將x=my+n代入橢圓方程，整理得：（9+16m²）y²+32mny+16n²-144=0，
∴y₁+y₂=-

32mn

9+16m2

，y₁y₂=

16n2-144

9+16m2

，
∴x₁x₂=（my₁+n）（my₂+n）=m²y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=m²•

16n2-144

9+16m2

+mn•（-

32mn

9+16m2

）+n²=

9n2-144m2

9+16m2

，
x₁+x₂=（my₁+n）+（my₂+n）=m（y₁+y₂）+2n=-

32m2n

9+16m2

+2n=

18n

9+16m2

，
∵以CD為直徑的圓過橢圓的右頂點P，∴

PC

•

PD

=0，即（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=0，
∴

16n2-144

9+16m2

+

9n2-144m2

9+16m2

-3×

18n

9+16m2

+9=0，解得n=3或n=-

21

25

，
當n=3時直線x=my+3過P（3，0），此時不合題意；當n=-

21

25

時，x=my-

21

25

，過定點（-

21

25

，0），
故直線l與x軸交于定點（-

21

25

，0）．

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系、向量的數量積運算等知識，考查學生的運算能力，運算量大，能力要求高．