Question

一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N、P、Q分別是FC、AF、DC、AD的中點）
（1）直線DE與直線BF的位置關系是什么、夾角大小為多少？
（2）判斷并證明直線MN與直線PQ的位置關系；
（3）求三棱錐D-ABF的體積．

Answer 1

分析：（1）把三視圖還原到原圖形后可知原幾何體是兩側面為正方形且垂直的直三棱柱，所以可知直線DE與直線BF的位置關系且知道夾角；
（2）連接AC后根據三角形中位線定理及平行公理可證明；
（3）三棱錐的地面時等腰直角三角形，高就是AD，則體積可求．

解答：解：（1）由三視圖分析得到原圖形為兩個側面垂直的直三棱柱的平放圖形，由圖可知直線DE與直線BF的位置關系是異面直線，其夾角為∠BFC，大小為45°；
（2）直線MN與直線PQ的位置關系是平行
證明：連接AC，因為M、N、P、Q分別是FC、AF、DC、AD的中點，所以PQ∥AC，MN∥AC，所以MN∥PQ；
（3）由三視圖可知△ABF是邊長為2的等腰直角三角形，且三棱錐D-ABF的高為AD=2，
所以V_D-ABF=

1

3

×S△ABF×AD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧．