Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）時, 有恒成立, 求整數最小值.

Answer 1

【答案】（1） 上遞增，在遞減；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求出原函數的導函數，可得時，，在上單調遞增；當時，求出導函數的零點，由函數零點對定義域分段，結合導函數的符號可得原函數的單調區間；（2）當時，由，得，分離參數，得在上恒成立.構造函數，兩次求導可得.由此求得整數的最小值為.

試題解析：（1）定義域為,時, 在

上單調遞減；時, 令 , 得(舍去負的). 上遞增,

在遞減.

（2）時,,

在上恒成立, 令,則.

令在遞減, 且時, , 時, ,因此在必存在唯一零點, 不妨設,即,

當時, 單調遞增；當時, 單調遞減；因此,

,即,依題意有,

即整數的最小值為.