Question

【題目】為慶祝黨的98歲生日，某高校組織了“歌頌祖國，緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽。從參加競賽的學生中，隨機抽取40名學生，將其成績分為六段，，，，，，到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求圖中的值及樣本的中位數與眾數；

（2）若從競賽成績在與兩個分數段的學生中隨機選取兩名學生，設這兩名學生的競賽成績之差的絕對值不大于分為事件,求事件發生的概率.

（3）為了激勵同學們的學習熱情,現評出一二三等獎,得分在內的為一等獎,得分在內的為二等獎, 得分在內的為三等獎.若將頻率視為概率,現從考生中隨機抽取三名,設為獲得三等獎的人數,求的分布列與數學期望.

Answer 1

【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)；(3)詳見解析

【解析】

（1）根據小矩形的面積之和等于1，列出方程，求得的值，根據中位數定義估計中位數的范圍，在列出方程求解中位數，再根據眾數的定義，即可求解.

（2）計算兩組的人數，再計算抽取的兩人在同一組的概率，即可求解；

（3）根據題意，得到隨機變量服從二項分布，再利用二項分布的期望公式，即可求解.

（1）由頻率分布直方圖可知，解得，

可知樣本的中位數在第4組中，不妨設為，

則，解得，

即樣本的中位數為，

由頻率分布直方圖可知，樣本的眾數為.

（2）由頻率分布直方圖可知，在與兩個分數段的學生人數分別為和，設中兩名學生的競賽成績之差的絕對值不大于5分為事件M，

則事件M發生的概率為，即事件M發生的概率為.

（3）從考生中隨機抽取三名,則隨機變量為獲得三等獎的人數,則，

由頻率分布直方圖知，從考升中任抽取1人，此生獲得三等獎的概率為，

所以隨機變量服從二項分布，

則，

，

所以隨機變量的分布列為

	0	1	2	3
	0.343	0.441	0.189	0.027

所以.