Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知矩形ABCD的兩邊AB，CD分別落在x軸、y軸的正半軸上，且AB=2，AD=4，點A與坐標原點重合．現(xiàn)將矩形折疊，使點A落在線段DC上，若折痕所在的直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程及k的范圍．

Answer 1

分析：分析重合的兩個點之間的關(guān)系，A點落在線段DC上，A點與DC上的點關(guān)于折痕對稱，兩點的連線與折痕垂直，求出對應點之間的斜率，得出k的取值．（注意要分點A與點D重合以及點A與點D不重合兩種情況來研究）．

解答：解：①當k=0時，點A與點D重合，折痕所在直線的方程
為y=2；                  …（2分）
②當k≠0時，設矩形折疊后點A落在線段DC上
的點A′（a，4），…（4分）
所以，A與A′關(guān)于折痕所在直線對稱，
從而

4

a

•k=-1，即a=-4k…（7分）
故A′點的坐標（-4k，4），線段AA′的中點坐標為（-2k，2），…（10分）
所以，折痕所在直線的方程為y-2=k（x+2k），即kx-y+2k²+2=0． …（12分）
由于當k=0時，折痕所在直線的方程為y=2也滿足上式，
所以，折痕所在直線的方程為kx-y+2k²+2=0；
顯然，當點A′與點C重合時，k取最小值為-

1

2

，即-

1

2

≤k≤0
綜上所述，折痕所在直線的方程為kx-y+2k²+2=0且-

1

2

≤k≤0．…（14分）

點評：本題考查點關(guān)于線段對稱問題，考查直線之間的垂直關(guān)系的應用，考查直線的圖象的特征，