Question

【題目】設數列的前n項和為,且,

(1)求的值,并求出及數列的通項公式;

(2)設求數列的前n項和

(3)設在數列中取出(為常數)項,按照原來的順序排成一列,構成等比數列.若對任意的數列,均有試求的最小值.

Answer 1

【答案】(1);;;;.(2)(3)最小值為.

【解析】

（1）分別取，以及代入，求出，猜想，用數學歸納法證明即可，利用，即可求出；

（2）通過（1）裂項可知，分為奇數和偶數兩種情況討論即可得出結論；

（3）由（1）可知，根據條件分析子列的公比范圍，將問題轉化為求首項為1，公比為的等比數列的前項和.

解:(1)當時,;

當時,;

當時,;

由此,猜測:

下面用數學歸納法證明:

(i)當時,結論顯然成立;

(ii)假設當時,;

則當時,由條件,得

.

即當時,結論也成立.

于是,由(i),(ii)可知,對任意的,

均有.

當時,.

又,

于是數列的通項公式為:.

(2)因.

當n為奇數時,

當n為偶數時,

故

(3)因,由于數列的項子列構成等比數列,

設其公比為,則

.

因,且,

設(,且互質)

(i)當時,因,故

(ii)當時,因是數列中的項,

故.

從而

綜合(i),(ii),得:在數列中的所有項等比子數列中,

其和最大的是:.

故由題意知:的最小值為.

另解(3):因,由于數列的項子列構成等比數列,

設其公比為,則.

因,且.

(i)當時,因,故

.

(ii)當時,因,故

綜合(i),(ii),得:在數列中的所有項等比子數列中,

其和最大的是:,故由題意知:的最小值為.