Question

【題目】已知函數，，其中．

（Ⅰ）當時，求函數的單調遞減區間；

（Ⅱ）若對任意的，（為自然對數的底數）都有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞減區間為，（2）

【解析】

試題分析：（1）求出，令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；(2) 對任意的，（為自然對數的底數）都有成立等價于在定義域內有,分三種情況討論的范圍，利用導數研究函數的單調性，分別求出的最值,從而可列出關于的不等式，從而求出的范圍，綜合三種情況所得結果可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）解：當時，

解得或，

則函數的單調遞減區間為，

（2）對任意的都有成立等價于在定義域內有．

當時，．

∴函數在上是增函數．

∴

∵，且，．

①當且時，，(僅在且時取等號)

∴函數在上是增函數，

∴.

由，得，

又，∴不合題意．

②當時，

若，則，

若，則．

∴函數在上是減函數，在上是增函數．

∴. 由，得，

又，∴．

③當且時，，(僅在且時取等號)

∴函數在上是減函數．

∴.

由，得，

又，∴．

綜上所述：