Question

對于任意的n∈N^*（n不超過數列的項數），若數列{a_n}滿足：a₁+a₂+…+a_n=a₁•a₂•…•a_n，則稱該數列為K數列．
（Ⅰ）若數列{a_n}是首項a₁=2的K數列，求a₃的值；
（Ⅱ）若數列{

1

an

}是K數列．
（1）試求a_n+1與a_n的遞推關系；
（2）當n≥3且0＜a₁＜1時，試比較

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

與

16

3

的大小．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）根據遞推數列分別令n=2，3，即可求a₃的值；
（Ⅱ）根據數列{

1

an

}是K數列．建立條件故選即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當n=2時，a₁+a₂=a₁•a₂，即2+a₂=2a₂，
解得a₂=2，
當n=3時，a₁+a₂+a₃=a₁•a₂•a₃，即2+2+a₃=4a₃，
解得a₃=

4

3

；
（Ⅱ）∵數列{

1

an

}是K數列，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1

•

1

a2

•…

1

an

，①

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

+

1

an+1

=

1

a1

•

1

a2

•…

1

an

，②
兩式相減得

1

an+1

=（

1

an+1

-1）

1

a1

•

1

a2

•…

1

an

，③
則

1

an

=（

1

an

-1）

1

a1

•

1

a2

•…

1

an-1

，（n≥2），④
兩式相除得

1 an+1

1 an

=

( 1 an+1 -1)• 1 an

1 an -1

，
整理得a_n+1=a_n²-a_n+1=0，（n≥2）．
又

1

a1

+

1

a2

=

1

a1

•

1

a2

，
∴a₂=1-a₁，
綜上a_n+1與a_n的遞推關系為an+1=

1-an，n=1 an2-an+1，n≥2

．
（2）∵0＜a₁＜1，∴0＜1-a₁＜1，
從而

3

4

≤a3=(a2-

1

2

)2+

3

4

＜1，
a₄≥（

3

4

）²-

3

4

+1=

13

16

，
又a_n+1＞a_n≥

13

16

，（n≥4），
當n≥2時，

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

∴n≥3時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

a1

+（

1

a2-1

-

1

a3-1

）+…+（

1

an-1

-

1

an+1-1

）
=

1

a1

+

1

a2-1

-

1

an+1-1

=-

1

an+1-1

=

1

1-an+1

≥

13

16

．

點評：本題主要考查遞推數列的應用，以及數列與不等式的綜合，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．