Question

（12分）已知函數(shù)（），其中．

（Ⅰ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅱ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)f′(x)＝x(4x³＋3ax＋4)，顯然x＝0不是方程4x³＋3ax＋4＝0的根.

為使f(x)僅在x＝0處有極值，必須4x²＋3ax＋4≥0，即有Δ＝9a²－64≤0.

解此不等式，得－≤a≤.這時(shí)，f(0)＝b是唯一極值.

因此滿足條件的a的取值范圍是. －≤a≤.

(2)由條件，可知Δ＝9a²－64＜0，從而4x²＋3ax＋4＞0恒成立.

當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞0.

因此函數(shù)f(x)在上的最大值是f(1)與f(－1)兩者中的較大者.

為使對(duì)任意的，不等式f(x)≤1在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

即在上恒成立.

所以b≤－4，因此滿足條件的b的取值范圍是(－∞，－4].

【解析】略