Question

某校為了探索一種新的教學(xué)模式，進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn)，乙班為實(shí)驗(yàn)班，甲班為對比班，甲乙兩班的人數(shù)均為50人，一年后對兩班進(jìn)行測試，成績?nèi)缦卤恚�總分�?50分）：
甲班

成績	2a=6， c a = 6 3	a=3，c= 6	x2 9 + y2 3 =1．	x2 9 + y2 3 =1 y=kx-2 得，(1+3k2)x2-12kx+3=0	△=144k2-12（1+3k2）＞0，
頻數(shù)	4	20	15	10	1

乙班

成績	k2＞ 1 9 ．	A（x1，y1），B（x2，y2）	x1+x2= 12k 1+3k2 ，x1x2= 3 1+3k2	y1+y2=k(x1+x2)-4=k• 12k 1+3k2-4 =- 4 1+3k2	E( 6k 1+3k2 ，- 2 1+3k2 )
頻數(shù)	1	11	23	13	2

（1）現(xiàn)從甲班成績位于90到100內(nèi)的試卷中抽取9份進(jìn)行試卷分析，請問用什么抽樣方法更合理，并寫出最后的抽樣結(jié)果；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可估計(jì)在這次測試中，甲班的平均分是101.8，請你估計(jì)乙班的平均分，并計(jì)算兩班平均分相差幾分；
（3）完成下面2×2列聯(lián)表，你認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，“這兩個(gè)班在這次測試中成績的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)”嗎？并說明理由．

	成績小于100分	成績不小于100分	合計(jì)
甲班	- 2 1+3k2 -1 6k 1+3k2 •k=-1	26	50
乙班	12	k=±1	50
合計(jì)	36	64	100

附：

x-y-2=0或x+y+2=0．	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
a= 1 2	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析：（1）由3組數(shù)據(jù)的存在差異，故應(yīng)選擇分層抽樣，先計(jì)算出抽樣比，進(jìn)而可計(jì)算出各組抽取人數(shù)；
（2）累加各組組中與頻率的積，可估算出乙班的平均成績，進(jìn)而得到兩班平均成績的差；
（3）由已知中表格中的數(shù)據(jù)，求出甲乙兩班成績小于100和不小于100的人數(shù)后，直接代入公式計(jì)算，算出數(shù)據(jù)后與5.024進(jìn)行比較，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由于[90，120）內(nèi)共有3級(jí)數(shù)據(jù)，三段成績有明顯的差異，故用分層抽樣的方法更合理；
在[90，100），[100，110），[110，120），共有20+15+10=45人，從中抽取9人
抽樣比k=

9

45

=

1

5

在[90，100）中應(yīng)抽取20×

1

5

=4人，
在[100，110）中應(yīng)抽取15×

1

5

=3人，
在[110，120）中應(yīng)抽取10×

1

5

=2人，
（2）估計(jì)乙班的平均分?jǐn)?shù)為

.

x

乙=85×

1

50

+95×

11

50

+105×

23

50

+115×

13

50

+125×

2

50

=105.8
故兩班的平均分相差約為4分
（3）由已知中
甲班

成績	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）
頻數(shù)	4	20	15	10	1

乙班

成績	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）
頻數(shù)	1	11	23	13	2

可得2×2列聯(lián)表如下：

	成績小于100	成績不小于100分	合計(jì)
甲班	24	26	50
乙班	12	38	50
合計(jì)	36	64	100

則K²=

100×(24×38-26×12)2

50×50×36×64

≈6.25＞5.024，
由附表：

p（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

可得所以有97.5%的把握認(rèn)為這兩個(gè)班在這次測試中成績的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)．
即在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下，這兩個(gè)班在這次測試中成績的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)有關(guān)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，若值較大就拒絕假設(shè)，即拒絕兩個(gè)事件無關(guān)．