Question

設定義域在[x₁，x₂]的函數y=f（x）的圖象為C，C的端點分別為A、B，M是C上的任一點，向量

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，

OM

=(x，y)，若x=λx₁+（1-λ）x₂，記向量

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，現定義“函數y=f（x）在[x₁，x₂]上可在標準K下線性近似”是指|

MN

|≤K恒成立，其中K是一個正數．
（1）證明：0≤λ≤1（2）；
（3）請你給出一個標準K的范圍，使得[0，1]上的函數y=x²（4）與y=x³（5）中有且只有一個可在標準K下線性近似．

Answer 1

（1）由題意，x₁≤x≤x₂，即x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1．
（2）由

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

所以B、N、A三點在一條直線上．
又由（1）的結論，N在線段AB上，且與點M的橫坐標相同．
對于[0，1]上的函數y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有||

MN

||=x-x²=

1

4

-(x-

1

2

)2，故|

MN

|∈[0，

1

4

]．
對于[0，1]上的函數y=x³，則有=x-x³=g（x）．
在（0，1）上，g′（x）=1-3 x²，
可知在（0，1）上y=g（x）只有一個極大值點x=

3

3

，
所以函數y=g（x）在（0，

3

3

）上是增函數；在（

3

3

，1）上是減函數．
又g（

3

3

）=

2 3

9

，故[0，|

MN

|∈[0，

2 3

9

]]．
經過比較，

1

4

＜

2 3

9

，所以取k[

1

4

，

2 3

9

），則有函數y=x²在[0，1]上可在標準k下線性近似，函數y=x³在[0，1]上不可在標準k下線性近似．