Question

設定義域在[x₁，x₂]的函數y=f（x）的圖象為C，C的端點分別為A、B，M是C上的任一點，向量，若x=λx₁+（1-λ）x₂，記向量，現定義“函數y=f（x）在[x₁，x₂]上可在標準K下線性近似”是指恒成立，其中K是一個正數．
（1）證明：0≤λ≤1（2）；
（3）請你給出一個標準K的范圍，使得[0，1]上的函數y=x²（4）與y=x³（5）中有且只有一個可在標準K下線性近似．

Answer 1

【答案】分析：（1）據區間的左端點小于等于右端點，列出x₁≤x≤x₂，將x的值代入解不等式．
（2）對于y=x²與y=x³分別求出M，N兩點的距離的最大值，利用題目中的定義求出K的范圍．
解答：解：（1）由題意，x₁≤x≤x₂，即x₁≤λx₁+（1-λ）x₂≤x₂，∴x₁-x₂≤λ（x₁-x₂）≤0．
∵x₁-x₂＜0，∴0≤λ≤1．
（2）由
所以B、N、A三點在一條直線上．
又由（1）的結論，N在線段AB上，且與點M的橫坐標相同．
對于[0，1]上的函數y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有||=x-x²=，故．
對于[0，1]上的函數y=x³，則有=x-x³=g（x）．
在（0，1）上，g′（x）=1-3 x²，
可知在（0，1）上y=g（x）只有一個極大值點x=，
所以函數y=g（x）在（0，）上是增函數；在（，1）上是減函數．
又g（）=，故[0，]．
經過比較，＜，所以取k[，），則有函數y=x²在[0，1]上可在標準k下線性近似，函數y=x³在[0，1]上不可在標準k下線性近似．
點評：本題考查解不等式的能力及求函數最值的方法，新定義題在高考中近幾年常出現．