Question

【題目】對于各項均為正數的無窮數列，記，給出下列定義：

①若存在實數，使成立，則稱數列為“有上界數列”；

②若數列為有上界數列，且存在，使成立，則稱數列為“有最大值數列”；

③若，則稱數列為“比減小數列”．

（1）根據上述定義，判斷數列是何種數列？

（2）若數列中，，，求證：數列既是有上界數列又是比減小數列；

（3）若數列是單調遞增數列，且是有上界數列，但不是有最大值數列，求證：，．

Answer 1

【答案】（1）既是有上界數列，又是有最大值數列；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由，，得，，由此得到數列既是有上界數列，又是有最大值數列．

（2）先用數學歸納法證明，再證明．．然后證明，由此得到數列既是比減少數列又是有上界數列．

（3）假設對于，，由此推導出無窮數列不是有上界數列，與已知矛盾，假設不成立，從而得到對于數列，，．

解：（1）由題意知，，

，

，且存在，，

所以數列既是有上界數列，又是有最大值數列．

（2）數列中，，，

下面用數學歸納法證明，

①，命題；

②假設時命題成立，即，

當時，，

，

所以，當時，命題成立，即．

下面證明．

．

因為，所以，即．

由，，

兩式相除得：，，

所以，，，

即．

下面證明，

即需證明，即需證明，

而已證明成立，

所以，

即，，

所以，數列既是比減少數列又是有上界數列．

（3）用反證法，假設對于，，

即，

因為無窮數列各項為正且單調遞增，所以．

，

所以．當時，

，所以無窮數列不是有上界數列，與已知矛盾，假設不成立，

因此，對于數列，，．