Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1（a＞0），F（x）=

f(x) ， x≥0 -f(x) ， x＜0

若f（-1）=0，且對任意實數x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）的表達式；
（2）設函數g（x）=x+t，若函數F（x）與g（x）的圖象有三個不同交點，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，可得f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），因為對任意實數x均有f（x）≥0成立，所以

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，據此求出a、b的值，進而求出求F（x）的表達式即可；
（2）根據函數F（x）與g（x）的圖象有三個不同交點，分兩種情況討論求出實數t的取值范圍即可．

解答： 解：由f（-1）=0，可得a-b+1=0，b=a+1，
所以f（x）=ax²+（a+1）x+1（a＞0），
因為對任意實數x均有f（x）≥0成立，
所以

a＞0 △=(a+1)2-4a≤0

，
解得a=1，從而b=2，
所以f（x）=x²+2x+1（a＞0），
F（x）=

x2+2x+1，x≥0 -x2-2x-1，x＜0

；
（2）當x＞0時，由函數F（x）與g（x）的圖象，可得t＞1，
當x＜0時，要使函數f（x）與g（x）的圖象有三個不同交點，
則方程-x²-2x-1=x+t，即x²+3x+t+1=0有兩個不同負根，
∴

△=9-4(t+1)＞0 x1+x2=-3＜0 x1x2=t+1＞0

，
解得，-1＜t＜

5

4

，
綜上所述，1≤t＜

5

4

．

點評：本題主要考查了二次函數的性質的運用，考查了函數的極值與最值，考查了學生分析解決問題的能力，屬于中等題．