Question

在△ABC中，角A，B，C，的對(duì)邊分別為a，b，c．已知向量

m

=（2cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，-2sin

A

2

），

m

•

n

=-1．
（1）求cosA的值；
（2）若a=2

3

，求△ABC周長(zhǎng)的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量的數(shù)量積為-1，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，整理即可求出cosA的值；
（2）由a的值表示出三角形ABC周長(zhǎng)L，且利用三角形三邊關(guān)系得到b+c＞a，由余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入并利用基本不等式求出b+c的范圍，綜上，確定出b+c的范圍，進(jìn)而確定出a+b+c的范圍，即為三角形ABC周長(zhǎng)的范圍．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（2cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，-2sin

A

2

），且

m

•

n

=-1，
∴2cos²

A

2

-2sin²

A

2

=2cosA=-1，
則cosA=-

1

2

；
（2）∵a=2

3

，
∴△ABC周長(zhǎng)L=a+b+c=2

3

+b+c，b+c＞a=2

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA=（b+c）²-bc，
即12=（b+c）²-bc，
∵b+c≥2

bc

，即bc≤

(b+c)2

4

，
∴12=（b+c）²-bc≥

3(b+c)2

4

，即（b+c）²≤16，
解得：0＜b+c≤4，
∴2

3

＜b+c≤4，即4

3

＜a+b+c≤4+2

3

，
則△ABC周長(zhǎng)為（4

3

，4+2

3

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．