Question

某校從參加高三年級期末考試的280名文科學生中隨機抽取60名學生，將其數學成績（均為整數）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如右部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
（1）補全這個頻率分布直方圖；若達60分為極格，請估計這280名文科學生中的及格人數；
（2）用分層抽樣的方法在分數段為[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數段[70，80）的概率．

Answer 1

分析：（1）頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率，而頻率的和等于1，可求出分數在[70，80）內的頻率，即可求出矩形的高，畫出圖象即可；計算出60分以上的累積頻率，可估算出這280名文科學生中的及格人數；
（2）根據分層抽樣的抽樣比，計算出分數段[70，80）的抽取人數，進而求出從樣本中任取2人的所有基本事件個數及滿足至多有1人在分數段[70，80）的基本事件個數，代入古典概型公式，可得答案．

解答：解：（1）分數在[70，80）內的頻率為：
1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1-0.7=0.3
故該組在頻率分布直方圖中對應矩形的高為

0.3

10

=0.03
補全頻率分布直方圖如圖所示：
及格的頻率是（0.3+0.015+0.025+0.005）×10=0.75
故這280名文科學生中的及格人數約為280×0.75=210（人）
（2）由（1）得分數在[60，70）內的頻數為0.015×60=9人，
分數在[70，80）內的頻數為0.030×60=18人，
∵在分數段為[60，80）的學生中抽取一個容量為6的樣本，
∴在分數段[60，70）中應抽取2人，分別記為（M，N）；在分數段[70，80）中應抽取2人，分別記為（A，B，C，D）
記從樣本中任取2人，至多有1人在分數段[70，80）為事件A
則基本事件總數有

C

2 6

=

6×5

2×1

=15個，分別為：
（M，N），（M，A），（M，B），（M，C），（M，D）
（N，A），（N，B），（N，C），（N，D），（A，B），
（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）
事件A包含的基本事件有：

C

1 2

•

C

1 4

+

C

2 2

=2×4+1=9個，分別為
（M，N），（M，A），（M，B），（M，C），（M，D）
（N，A），（N，B），（N，C），（N，D）
故P（A）=

9

15

=

3

5

點評：本題主要考查根據頻率分布直方圖求某種情況的頻率和頻數，考察了學生的識圖能力和轉化能力．