Question

與向量、圓交匯．例5：已知F₁、F₂分別為橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的上、下焦點，其中F₁也是拋物線C₂：x²=4y的焦點，點M是C₁與C₂在第二象限的交點，且|MF1|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知點P（1，3）和圓O：x²+y²=b²，過點P的動直線l與圓O相交于不同的兩點A，B，在線段AB上取一點Q，滿足：

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

，（λ≠0且λ≠±1）．問點Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線C₂的定義得y₀，進而得點M的坐標，代入橢圓的方程可得a，b的值；
（2）由設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），由

AP

=-λ

PB

可得：（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）．

解答：解：（1）由C₂：x²=4y知F₁（0，1），設M（x₀，y₀）（x₀＜0），因M在拋物線C₂上，
故x₀²=4y₀①
又|MF1|=

5

3

，則y0+1=

5

3

②，由①②解得x0=-

2 6

3

，y0=

2

3

．而點M橢圓上，
故有

( 2 3 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1，即

4

9a2

+

8

3b2

=1③，又c=1，則b²=a²-1④
由③④可解得a²=4，b²=3，∴橢圓C₁的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由

AP

=-λ

PB

可得：（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3），即

x1-λx2=1-λ? ⑤ y1-λy2=3(1-λ) ⑥

由

AQ

=λ

QB

可得：（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即

x1+λx2=(1+λ)x ⑦ y1+λy2=(1+λ)y ⑧

⑤×⑦得：x₁²-λ²x₂²=（1-λ²）x，⑥×⑧得：y₁²-λ²y₂²=3y（1-λ²）
兩式相加得（x₁²+y₁²）-λ²（x₂²+y₂²）=（1-λ²）（x+3y）
又點A，B在圓x²+y²=3上，且λ≠±1，所以x₁²+y₁²=3，x₂²+y₂²=3
即x+3y=3，∴點Q總在定直線x+3y=3上．

點評：本題巧妙地將向量、圓、直線、橢圓與拋物線交匯在一起．充分體現了實施新課標后，高考對圓錐線的考查方向與特色--注重直觀（數形結合）與整體運算（降低運算量）．