Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．
（I）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（II）求二面角A-EB-D的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 取BE的中點O，AE的中點F，連OC，OF，DF，則2OF

∥

.

BA，由AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，知2CD 

∥

.

BA，由此能夠證明平面ADE⊥平面ABE．
（Ⅱ）取BE的中點O，連OC．以O為原點建立如圖空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能夠求出二面角A-EB-D的余弦值．

解答：（Ⅰ） 證明：取BE的中點O，AE的中點F，連OC，OF，DF，則2OF

∥

.

BA
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD 

∥

.

BA，
∴OF

∥

.

CD，∴OC∥FD，
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE，從而OC⊥AB．
∴OC⊥平面ABE，∴FD⊥平面ABE．
從而平面ADE⊥平面ABE．…（6分）
（Ⅱ）取BE的中點O，連OC．
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE，∴OF⊥平面BCE．
故可以O為原點建立如圖空間直角坐標系O-xyz，
由已知條件有：B（0，

3

，0），E(0，-

3

，0)，D（1，0，1），
設平面BDE的法向量為

p

=(x2，y2，z2)，
則由

p

•

ED

=x2+

3

y2+z2=0
及

p

•

EB

=2

3

y₂=0，
取

p

=(1，0，-1)，
∵平面ABE的法向量可取為

m

=(1，0，0)，
∴二面角A-EB-D的余弦值為cos＜

m

，

p

＞=

1

2

=

2

2

，
∴二面角A-EB-D的余弦值為

2

2

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和向量法的合理運用．