Question

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，

AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120⁰，F為AE中點。

(Ⅰ) 求證：平面ADE⊥平面ABE ；

(Ⅱ) 求二面角A—EB—D的大小的余弦值；

（Ⅲ）求點F到平面BDE的距離。

Answer 1

（Ⅱ）余弦值為（Ⅲ）點F到平面BDE的距離為

解析:

解法1：(Ⅰ)證明：取BE的中點O，連OC，OF，DF，則2OFBA…2分

∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，

∴OFCD，∴OC∥FD      ………………4分

∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.

從而平面ADE⊥平面ABE.     ………………6分

(Ⅱ)二面角A—EB—D與二面角F—EB—D相等，由(Ⅰ)知二面角F—EB—D的平面角為∠FOD。BC=CE=2, ∠BCE=120⁰，OC⊥BE得BO=OE=，OC=1，∴OFDC為正方形，∴∠FOD=45⁰，

∴二面角A—EB—D的余弦值為。   ……………………10分

（Ⅲ）∵OFDC為正方形，∴CF⊥OD，CF⊥EB，∴CF⊥面EBD，

∴點F到平面BDE的距離為FC，∴點F到平面BDE的距離為。……………14分

解法2：取BE的中點O，連OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE.

以O為原點建立如圖空間直角坐標系O－xyz，

則由已知條件有: ，，

 ……………………………2分

設平面ADE的法向量為，

則由·

及·

可取                 …………………………… 4分

又AB⊥平面BCE，∴AB⊥OC，OC⊥平面ABE，

∴平面ABE的法向量可取為＝.

∵··=0, ∴⊥，∴平面ADE⊥平面ABE.…… 6分

（Ⅱ）設平面BDE的法向量為，

則由·

及·可取……… 7分

∵平面ABE的法向量可取為＝                         …………8分

∴銳二面角A—EB—D的余弦值為=，………… 9分

∴二面角A—EB—D的余弦值為。          ……………………………10分

（Ⅲ）點F到平面BDE的距離為。……………………………14分