Question

選做題（請考生從以下三個小題中任選一個作答，若多選，則按所選的第一題計分．）
A（坐標系與參數方程選講選做題）直線l：

x=4t y=3t-2

（t為參數）被曲線C：

x=5+2cosθ y=3+2sinθ

（θ為參數）所截得的弦長為

2

3

．
B（不等式選講選做題）若存在實數x滿足|x-3|+|x-m|＜5，則實數m的取值范圍為

-2＜m＜8

．
C（幾何證明選講選做題）若一直角三角形的內切圓與外接圓的面積分別π與9π，則該三角形的面積為

7

．

Answer 1

分析：A 把直線l的參數方程化為直角坐標方程為 3x-4y-8=0，曲線C的參數方程化為直角坐標方程為（x-5）²+（y-3）²=4，表示以（5，3）為圓心，以2為半徑的圓，求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式求出弦長．
B|x-3|+|x-m|表示數軸上的x對應點到3和m對應點的距離之和，其最小值為|m-3|，由|m-3|＜5，解得實數m的取值范圍．
C 設R，r分別為Rt△ABC的外接圓半徑和內切圓半徑，則由直角三角形的內切圓與外接圓的面積分別π與9π可得 r=1，R=3．設兩直角邊分別為a，b，則由圓的切線性質可得斜邊為
a-r+b-r=

a2+b 2

=2R=6，解得 a+b=8，根據三角形的面積等于

1

2

(a+b+

a2+b2

) •r  求得結果．

解答：解：A  直線l：

x=4t y=3t-2

（t為參數）即

x

4

=

y+2

3

，即 3x-4y-8=0．
曲線C：

x=5+2cosθ y=3+2sinθ

（θ為參數）化為直角坐標方程為（x-5）²+（y-3）²=4，表示以（5，3）為圓心，以2為半徑的圓．
圓心到直線的距離等于 

|15-12-8|

9+16

=1，由弦長公式求得弦長為2

4-1

=2

3

，
故答案為 2

3

．
B  由于存在實數x滿足|x-3|+|x-m|＜5，而|x-3|+|x-m|表示數軸上的x對應點到3和m對應點的距離之和，其最小值為|m-3|，
故|m-3|＜5，解得-2＜m＜8，
故答案為-2＜m＜8．
C  設R，r分別為Rt△ABC的外接圓半徑和內切圓半徑，則由直角三角形的內切圓與外接圓的面積分別π與9π可得 πr²=π，πR²=9π，
解得 r=1，R=3．
設兩直角邊分別為a，b，則由圓的切線性質可得斜邊為 a-r+b-r=

a2+b 2

=2R=6，∴a+b=8．
故三角形的面積等于

1

2

(a+b+

a2+b2

) •r=

1

2

•(8+6) •1=7，
故答案為 7．

點評：本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用．解絕對值不等式，絕對值的意義．三角形的內切圓和內心，以及外心的定義和求法，屬于中檔題．