Question

設(shè)命題P：函數(shù)y=log_a（x+1）在（0，+∞）為減函數(shù)．命題Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．若“P且Q”為假，“P或Q”為真，求a的范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)P為真時(shí)，0＜a＜1．當(dāng)Q為真時(shí)，a＞

5

2

或a＜

1

2

．當(dāng)P為真、Q為假時(shí)，求出a的范圍；當(dāng)P為假、Q為真時(shí)，
求出a的范圍，把這幾個(gè)a的范圍取并集即得所求．

解答：解：當(dāng)P為真時(shí)，0＜a＜1．當(dāng)Q為真時(shí)，△=（2a-3）²-4＞0，即 a＞

5

2

或a＜

1

2

．
∵“P且Q”為假，“P或Q”為真，∴P與Q必是一真一假．
當(dāng)P為真、Q為假時(shí)，則有  

0＜a＜1   1 2 ≤a≤ 5 2

，解得

1

2

≤a＜1．
當(dāng)P為假、Q為真時(shí)，則有 

a≥1或a≤0   a＞ 5 2 ， 或a＜ 1 2

，解得a＞

5

2

 或a≤0．
綜上可得

1

2

≤a＜1或a≤0或a＞

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，復(fù)合命題的真假，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．