Question

關于x的方程

1-x2

=k（x-2）+1有兩解則k的取值范圍是

（0，

1

3

]

．

Answer 1

分析：等式左邊是一段圓弧x²+y²=1 （y≥0），右邊是條直線y=kx+1-2k，直線恒過定點（2，1），再考慮直線與圓相切及過點（-1，0）兩個位置的斜率，從而得解．

解答：解：由題意，等式左邊是一段圓弧x²+y²=1 （y≥0）
右邊是條直線y=kx+3-2k，直線恒過定點（2，1）
根據點到直線的距離小于半徑時才有和圓弧所在的圓有兩個交點
∴k＞0
當直線過點（-1，0）時，k=

1-0

2-(-1)

=

1

3

所以方程

1-x2

=k（x-2）+1有兩個不等實根時，0＜k≤

1

3

．
故答案為：（0，

1

3

]．

點評：本題以方程根為載體，考查根的存在性及根的個數判斷，其中利用方程的幾何意義，是解答本題的關鍵．