Question

【題目】已知直線l：（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0（k∈R）恒過定點P，圓C經過點A（4，0）和點P，且圓心在直線x﹣2y+1=0上．
（1）求定點P的坐標；
（2）求圓C的方程；
（3）已知點P為圓C直徑的一個端點，若另一個端點為點Q，問：在y軸上是否存在一點M（0，m），使得△PMQ為直角三角形，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由（k﹣1）x﹣2y+5﹣3k=0得，k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，

令 ，得 ，即定點P的坐標為（3，1）．

（2）解：設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由條件得 ，解得 ．

所以圓C的方程為x2+y2﹣14x﹣8y+40=0，

圓C的標準方程（x﹣7）2+（y﹣4）2=25．

（3）解：圓C的標準方程為（x﹣7）2+（y﹣4）2=25，則 ，

設點P（3，1）關于圓心（7，4）的對稱點為（x0，y0），則有 ，

解得x0=11，y0=7，故點Q的坐標為（11，7）．

因為M在圓外，所以點M不能作為直角三角形的頂點，

若點P為直角三角形的頂點，則有 ，m=5，

若點Q是直角三角形的頂點，則有 ， ，

綜上，m=5或 ．

【解析】（1）左右直線l的方程：k（x﹣3）﹣（x+2y﹣5）=0，令 ，即可求得定點P的坐標；（2）設圓的方程，由題意列方程組，即可求圓的標準方程；（3）由（2）可知：求得直線CP的斜率，根據對稱性求得Q點坐標，由M在圓外，所以點M不能作為直角三角形的頂點，分類討論，即可求得m的值．