Question

已知斜三棱柱—，側面與底面垂直，∠，，且⊥，＝.

（1）試判斷與平面是否垂直，并說明理由；
（2）求側面與底面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）AA₁與平面A₁BC不垂直
（2）

試題分析：解法一：如圖建立空間直角坐標系，

（1）由條件知                              1分
由面⊥面ABC，AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，知     2分

∵   ……………3分
∴與不垂直，即AA₁與BC不垂直，
∴AA₁與平面A₁BC不垂直……5分
（2）由ACC₁A₁為平行四邊形，
知==…7分
設平面BB₁C₁C的法向量，
由
令，則            9分
另外，平面ABC的法向量（0，0，1）       10分

所以側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為       12分
解法二：（1）取AC中點D，連結A₁D，則A₁D⊥AC．

又∵側面ACC₁A₁與底面ABC垂直，交線為AC，
∵A₁D⊥面ABC
∴A₁D⊥BC． 2分
假設AA₁與平面A₁BC垂直，則AA₁⊥BC．
又A₁D⊥BC，由線面垂直的判定定理，
BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC，這樣在△ABC中
有兩個直角，與三角形內角和定理矛盾．假設不
成立，所以AA₁不與平面A₁BC垂直    5分
（2）側面BB₁C₁C與底面ABC所成的銳二面角即為側面BB₁C₁C與A₁B₁C₁底面所成的銳二面角．
過點C作A₁C₁的垂線CE于E，則CE⊥面A₁B₁C₁，B₁C₁⊥CE．
過點E作B₁C₁的垂線EF于F，連結CF．
因為B₁C₁⊥EF，B₁C₁⊥CE，所以B₁C₁⊥面EFC，B₁C₁⊥CF
所以∠CFE即為所求側面BB₁C₁C與地面A₁B₁C₁所成的銳二面角的平面角           9分
由得
在Rt△EFC中，cos∠
所以，側面BB₁C₁C與底面ABC所成銳二面角的余弦值為     12分
點評：主要是考查了空間中線面垂直以及二面角平面角的大小的求解，運用向量法來求解，屬于常規試題。