Question

如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，.和分別是和的中點，求證：

（Ⅰ）底面；
（Ⅱ）平面；
（Ⅲ）平面平面.

Answer 1

把平面與平面垂直轉化為直線和平面垂直是常見的轉化.要證直線和平面垂直，依據相關判定定理轉化為證明直線和直線垂直.要證直線和平面平行，可以利用直線和平面平行的判定定理完成。證明平面與平面垂直，需要在一個平面內找到一條和另一個平面垂直的直線，依據平面與平面垂直的判定定理。

（Ⅰ）因為平面底面，且垂直于這兩個平面的交線，
所以底面.
（Ⅱ）因為，，是的中點，
所以，且.
所以為平行四邊形.
所以，.
又因為平面，平面，
所以平面.
（Ⅲ）因為，并且為平行四邊形，
所以,.
由（Ⅰ）知底面，
所以，
所以平面.
所以.
因為和分別是和的中點，
所以.
所以.
所以平面.
所以平面平面.
【考點定位】本題考查了直線和平面平行、垂直的判定定理，平面與平面垂直的判定定理和性質定理，考查推理論證能力.