Question

已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．向量

m

=(a，4cosB)，

n

=(cosA，b)滿足

m

∥

n

．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若A∈(0，

π

3

)，且實數x滿足abx=a-b，試確定x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量平行的坐標表示及正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，然后利用兩角和的余弦公式可求A+B，然后利用輔助角公式及正弦函數的性質可求
（2）由題意可得，x=

a-b

ab

=

sinA-sinB

2sinAsinB

=

sinA-cosA

2sinAcosA

，利用換元法設t=sinA-cosA，利用同角平方關系可把2sinAcosA用t表示，結合函數的導數可判斷函數的單調性進而可求取值范圍

解答：解：（1）∵

m

∥

n

由向量平行的坐標表示可得，

a

cosA

=

4cosB

b

即ab=4cosAcosB
∵△ABC的外接圓半徑為1
由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0
∵0＜A+B＜π
∴A+B=

1

2

π故△ABC為直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)
∵

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

∴

2

2

＜sin(A+

π

4

)≤1
∴1＜sinA+sinB≤

2

（2）由題意可得，x=

a-b

ab

=

sinA-sinB

2sinAsinB

=

sinA-cosA

2sinAcosA

設t=sinA-cosA（-1＜t＜

3 -1

2

），則2sinAcosA=1-t²
∴x=

t

1-t2

∵=

1+t2

(1-t2)2

＞0
故x=

t

1-t2

在（-1，

3 -1

2

）上單調遞增
∴

t

1-t2

＜

3 -1 2

1-( 3 -1 2 )2

=

3- 3

3

∴x的取值范圍是x＜

3- 3

3

點評：本題綜合考查了正弦定理及和差角公式、輔助角公式、同角平方關系及函數的導數與函數的單調性的關系的綜合應用