Question

（本小題滿分13分）如圖（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分別為AC ,AD ,DE的中點，現將△ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED,如圖（乙）．

（1）求證：平面FHG//平面ABE；

（2）記表示三棱錐B－ACE 的體積，求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角D－AB－C的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：見解析；（2）當時有最大值，

 (3)  

【解析】本題的考點是面面平行的判斷，主要考查證明面面平行，考查幾何體的體積，考查二面角的平面角，關鍵是正確運用面面平行的判定，利用向量法求面面角，關鍵是求出相應的法向量

（1）欲證平面FHG∥平面ABE，只需證明線面平行，故只需要在平面FHG中尋找兩條相交直線與平面平行；

（2）由于平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD，所以AC⊥平面CBED，故可表示三棱錐B-ACE的體積，利用基本不等式求最值，注意等號成立的條件；（3）求解二面角D-AB-C的余弦值，建立空間直角坐標系，利用向量法求解，分別求出平面ACB的法向量，平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式得到cosθ

解：（1）證明：由圖（甲）結合已知條件知四邊形CBED為正方形

如圖（乙）

∵F、H、G分別為AC , AD,DE的中點

∴FH//CD, HG//AE-，∵CD//BE  ∴FH//BE

∵面，面

∴面，同理可得面

又∵    ∴平面FHG//平面ABE

（2）∵平面ACD平面CBED 且ACCD

    ∴平面CBED

∴＝＝

∵   ∴（）

∴＝＝

∵，令得（不合舍去）或

當時，當時

∴當時有最大值，

 (3)：由（2）知當取得最大值時，即

BC=這時AC=，從而

過點C作CMAB于M，連結MD

∵ ∴面

∵面

∴       ∴面

∵面   ∴

∴是二面角D－AB－C的平面角

由得＝

∴

在Rt△MCD中