Question

【題目】設直線與直線分別與橢圓交于點，且四邊形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點的動直線與橢圓相交于，兩點，是否存在經過原點，且以為直徑的圓？若有，請求出圓的方程，若沒有，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，圓的方程為.

【解析】

（1）根據兩條直線解析式特征可知直線與直線關于坐標軸對稱，則為矩形，將與橢圓方程聯立，表示出交點的橫縱坐標，即可由四邊形的面積確定參數，求得橢圓的方程；

（2）設直線的方程，兩個交點坐標.聯立橢圓方程后化簡，用韋達定理表示出，經過原點，且以為直徑的圓滿足，即，由平面向量數量積的坐標運算代入即可求得斜率.由中點坐標公式即可求得線段中點的坐標，進而求得的值，即可得圓的標準方程.

（1）由題意可知直線與直線關于坐標軸對稱，所以四邊形為矩形，

則，解得

所以，

解得，

代入橢圓方程可得.

（2）存在.

設，由題意可知直線的斜率必然存在.

直線過點，設直線的方程為，

則，化簡可得，

所以，

經過原點，且以為直徑的圓滿足，即，

則

，

解方程可得，經檢驗可知都滿足.

設線段的中點為.

則

所以，

所以存在滿足條件的圓，圓的方程為.