Question

【題目】數(shù)列{an}中，a1=1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差數(shù)列．
（1）計(jì)算S1 ， S2 ， S3的值；
（2）根據(jù)以上結(jié)果猜測(cè)Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：S1=a1=1，由已知有2S2=S1+2S2，得S2= ，

又2S3=S2+2S2，得S3=

（2）解：由以上結(jié)果猜測(cè)：Sn=

② 當(dāng)n=1時(shí)，S1= =1，猜想成立

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，則有Sk=

當(dāng)n=k+1時(shí)，∵2Sk+1=Sk+2S1，

∴Sk+1= +2= ，

∴S= ，

∴n=k+1時(shí)猜想成立，

故由①和②，可知猜想成立

【解析】（1）Sn ， Sn+1 ， 2S1成等差數(shù)列，得到2Sn+1=Sn+Sn+1 ， 可求S1 ， S2 ， S3的值；（2）由（1）猜想Sn的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．