Question

如圖，P是拋物線C：y=x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q，
（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，M(x₀，y₀)，
依題意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0，
由y=x²， ①
得y′=x，
∴過點P的切線的斜率k_切=x₁，
∴直線l的斜率k_l=，
∴直線l的方程為，
聯立①②消去y，得，
∵M是PQ的中點，
∴，
消去x₁，得，
∴PQ中點M的軌跡方程為；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+b，
依題意k≠0，b≠0，則T(0，b)，
分別過P、Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥y軸，垂足分別為P′、Q′，
則，
由消去x，得y²-2(k²+b)y+b²=0， ③
則y₁+y₂=2(k²+b)，y₁y₂=b²，
∴，
∵y₁、y₂可取一切不相等的正數，
∴的取值范圍是（2，+∞）。