Question

如圖，P是拋物線C：y=

1

2

x²上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．
（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設M（x₀，y₀），欲求點M的軌跡方程，即尋找其坐標的關系，可通過另外兩點P，Q與中點M的關系結合中點坐標公式求解，
（2）欲

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍，可轉化為將其表示成某變量的表達式，然后再求此表達式的最值問題，另外，為了化簡比例式，一般將線段投影到坐標軸上的線段解決．

解答：解：（Ⅰ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依題意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x²，①
得y'=x．
∴過點P的切線的斜率k=x₁，
∴直線l的斜率k_l=-

1

k

=-

1

x1

，
∴直線l的方程為y-

1

2

x₁²=-

1

x1

（x-x₁），②
聯立①②消去y，得x²+

2

x1

x-x₁²-2=0．
∵M是PQ的中點
∴x₀=

x1+x2

2

=-

1

x1

，y₀=

1

2

x₁²-

1

x1

（x₀-x₁）
消去x₁，得y₀=x₀²+

1

2  x 2 0

+1（x₀≠0），
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x²+

1

2 x 2 0

+1（x≠0）．

（Ⅱ）設直線l：y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T（0，b）．
分別過P、Q作PP'⊥x軸，QQ'⊥y軸，垂足分別為P'、Q'，則

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．
由y=

1

2

x²，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．③
則y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|（

1

y1

+

1

y2

）≥2|b|

1 y1y2

=2|b|

1 b2

=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正數，
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍是（2，+∞）．

點評：本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．