Question

【題目】已知橢圓：（）和圓：，分別是橢圓的左、右兩焦點，過且傾斜角為（）的動直線交橢圓于兩點，交圓于兩點（如圖所示，點在軸上方）.當時，弦的長為.

（1）求圓與橢圓的方程；

（2）若依次成等差數列，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為：，：；（2）直線的方程為：.

【解析】

試題（1）求圓與橢圓的方程，其實只要求的值，而本身滿足，只要再建立一個關于的等式即可求出的值，這可從直線被圓截得的弦長為考慮，運用垂徑定理建立關于等式；（2）求直線的方程，因為直線已經經過，只要再求一點或斜率，即可得到方程，因為成等差數列，結合橢圓的定義，可求得的長，從而可求得的坐標，最終可求得直線的方程.

試題解析：（1）取的中點，連，由，，知，

，，即，從而，

橢圓的方程為：，：.

（2）設，，又 的長成等差數列，，

設，由解得，， ：.