Question

【題目】已知橢圓過點，橢圓的左焦點為，右焦點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，且，直線與直線分別交于兩點．

（1）求橢圓的方程及線段的長度的最小值；

（2）是橢圓上一點，當線段的長度取得最小值時，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（I）由橢圓和拋物線y2＝4x有共同的焦點，求出拋物線的焦點坐標，根據a2=b2+c2，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據（I）寫出點A，B，設點P和直線AP，BP的方程，并且與直線y=3分聯立，求出G，H兩點，根據兩點間的距離公式，根據求函數的最值方法可求, 當平行于的直線與橢圓下方相切時， 的面積取最大值,求此時三角形面積即可.

試題解析：（1）由，得，所以，

又橢圓過點，

所以，解得，

故橢圓的方程為，

設點，則由，得，

即，則，

由，得，

所以線段的長度取得最小值.

（2）由（1）可知，當的長度取得最小值時， ，

將點代入，得，故此時點，

則直線的方程為，此時，

當平行于的直線與橢圓下方相切時， 的面積取最大值，

設直線，則由，得，

則，所以，或（舍去）．

由平行線間的距離公式，得此時點到直線的距離.

故，

即的面積的最大值為.