Question

【題目】在四棱錐中，底面是矩形，側棱底面， 分別是的中點， ， .

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）在存在一點，使得平面平面，且.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據中位線定理得， ，所以為平行四邊形，進而可證平面；

（Ⅱ）建立直角坐標系， ，求解平面的法向量為，設與平面所成角為，利用求解即可；

（Ⅲ）設上存在一點，則，令，求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明：取中點，連接.

因為分別是的中點，

所以，且.

因為是矩形， 是中點，

所以， .

所以為平行四邊形.

所以.

又因為平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）因為平面，

所以， .

因為四邊形是矩形，所以.

如圖建立直角坐標系，

所以， ， ，

所以， .

設平面的法向量為，

因為，所以.

令，所以，所以.

又因為，

設與平面所成角為，

所以 .

所以與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）因為側棱底面，

所以只要在上找到一點，使得，

即可證明平面平面.

設上存在一點，則，

所以.

因為，

所以令，即，所以.

所以在存在一點，使得平面平面，且.