Question

設為常數，已知函數在區間上是增函數，在區間上是減函數．

（1）設為函數的圖像上任意一點，求點到直線的距離的最小值；

（2）若對任意的且，恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵在區間上是增函數，

∴當時，恒成立，即恒成立，所以．

又在區間上是減函數，

故當時，恒成立，即恒成立，所以．

綜上，．

由，得，

令，則，而，

所以的圖象上處的切線與直線平行，

所以所求距離的最小值為．              （6分）

（Ⅱ）因為，則，

因為當時，恒成立，所以，

因為當時，，所以上是減函數，

從而，

所以當時，，即恒成立，所以．

因為在上是減函數，所以，

從而，即，

故實數的取值范圍是．                    （12分）

考點：本題考查了導數運用

點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、反證法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合