Question

函數f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，直線y=m與函數f（x）的圖象相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標依次記為a，b，c，d，有下列結論：
①m∈[3，4）；
②abcd∈[0，e⁴）；
③a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2）； 
④若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則m取值唯一．
其中正確的結論個數為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：對于①畫出y=f（x）與y=m的圖象即可；對于②，結合圖象把abcd的不等式用m表示出來
對于③同樣用m把a+b+c+d表示出來；對于④若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=-x+m有三個不同的交點，畫圖即可．

解答： 解：∵f(x)=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

=

-(x+1)2+4， x≤0 |2-lnx|，        x＞0

∴函數f（x）的圖象如下


若直線y=m與函數f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m∈[3，4），故①正確
四個交點橫坐標從小到大，依次記為a，b，c，d，則a，b是x²+2x+m-3=0
的兩根，∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴②是正確的．由2-lnx=4得x=

1

e2

，由2-lnx=3得x=

1

e

，∴c∈（

1

e2

，

1

e

]，又∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+

e4

c

-2在（

1

e2

，

1

e

]是遞減函數，∴a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2）； 
∴③是正確的
若關于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=-x+m有三個不同的交點，
而直線y=-x+3 與y=-x+

15

4

均與y=f（x）有三個交點，∴m不唯一．∴④是不正確的
故選C

點評：本題考查函數的圖象，分段函數，零點與方程的根之間的關系，綜合性較強．