Question

已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內接圓柱中，表面積最大的圓柱的底面半徑是

3R

4

．

Answer 1

分析：設內接圓柱的底面半徑為r、高為h、全面積為S，利用比例線段求出h=3R-3r，從而將全面積表示成底面半徑r的函數，利用二次函數的性質加以計算，可得答案．

解答：解：設內接圓柱的底面半徑為r、高為h、全面積為S，
可得

3R-h

3R

=

r

R

，解之得h=3R-3r
∴S=2πrh+2πr²=2πr（3R-3r）+2πr²
=-4πr²+6πRr=-4π（r²-

3

2

Rr）
=-4π（r-

3R

4

R）²+

9

4

πR²
∴當r=

3R

4

時，S有最大值

9

4

πR²．
即圓錐的所有內接圓柱中，表面積最大的圓柱的底面半徑是

3R

4

．
故答案為：

3R

4

點評：本題給出特殊的圓錐，求它的內接圓柱表面積的最大值．著重考查了圓錐的性質、圓柱的表面積計算和比例線段的計算等知識，屬于中檔題．