Question

如圖，四棱錐S-ABCD底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點，且SE=2EC，SA=6，AB=2．
（1）求證：平面EBD⊥平面SAC；
（2）求三棱錐E-BCD的體積V．

Answer 1

分析：（1）由線面垂直的性質，結合SA⊥底面ABCD可得SA⊥BD，再由AC⊥BD結合線面垂直的判定定理得到BD⊥平面SAC，最后由面面垂直的判定定理得到平面EBD⊥平面SAC
（2）由線面垂直的判定定理，結合SA⊥底面ABCD，可得平面SAC⊥底面ABCD，過點E作EF⊥AC于F，則EF⊥底面ABCD，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵SA⊥底面ABCD
∴SA⊥BD
又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD
又∵SA∩AC=A，SA，AC?平面SAC
∴BD⊥平面SAC，
∵BD?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面SAC…（6分）
解：（2）∵SA⊥底面ABCD，
∴平面SAC⊥底面ABCD，過點E作EF⊥AC于F，則EF⊥底面ABCD，
∴EF∥SA，
∵SE=2EC，SA=6，
∴EF=2，
∴V=

1

3

S△BCD•EF=

4

3

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，熟練掌握空間線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉化是解答的關鍵．