Question

某大樓共5層，4個人從第一層上電梯，假設每個人都等可能地在每一層下電梯，并且他們下電梯與否相互獨立．又知電梯只在有人下時才停止．
（I）求某乘客在第i層下電梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求電梯在第2層停下的概率；
（Ⅲ）求電梯停下的次數ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，試驗發生的所有事件數共有4種結果，而滿足條件的只有一個結果，根據古典概型公式得到結果．
（2）由第一問知一個乘客在某一層下的概率是，有4個乘客相當于發生4次獨立重復試驗，電梯在第2層停下的對立事件是都不在第二層下，不在某一層下的概率是1-．
（3）某大樓共5層，4個人從第一層上電梯，可能在第五、第四、第三、第二層停，所以ξ可取1、2、3、4四種值，當ξ=1時表示電梯在整個過程中只停一次，又變為古典概型．
解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
試驗發生的所有事件數共有4種結果，
而滿足條件的只有一個結果，
∴P=．
（Ⅱ）由第一問知一個乘客在某一層下的概率是，
有4個乘客相當于發生4次獨立重復試驗，
電梯在第2層停下的對立事件是都不在第二層下，
∴
（Ⅲ）由題意知ξ可取1、2、3、4四種值，
；
；
；

故ξ的分別列如下表：

∴
點評：期望是概率論和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊，為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響．