Question

設矩陣(其中a＞0，b＞0)，
(Ⅰ)若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
(Ⅱ)若曲線C：x²+y²=1在矩陣M所對應的線性變換作用下得到曲線C′：，求a，b的值．

Answer 1

解：(Ⅰ)設矩陣M的逆矩陣，則，
又，
所以，所以2x₁=1，2y₁=0，3x₂=0，3y₂=1，
即，y₁=0，x₂=0，，
故所求的逆矩陣M^-1=。
(Ⅱ)設曲線C上任意一點P(x，y)，它在矩陣M所對應的線性交換作用下得到點P′(x′，y′)，
則，即，
又點P′(x′，y′)在曲線C′上，所以，
則為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+y²=1，故，
又a＞0，b＞0，所以。