Question

（2012•濰坊二模）已知向量

a

=（Asinωx，Acosωx），

b

=（cosθ，sinθ），f（x）=

a

•

b

+1，其中A＞0、ω＞0、θ為銳角．f（x）的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，且當x=

π

12

時，f（x）取得最大值3．
（I）求f（x）的解析式；  
（II）將f（x）的圖象先向下平移1個單位，再向左平移?（?＞0）個單位得g（x）的圖象，若g（x）為奇函數，求?的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得f（x）=Asin（ωx+θ）+1，再由f（x）的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，且當x=

π

12

時，f（x）取得最大值3，可解A，w，θ；
（II）先由圖象變換的規律解得g（x）的解析式，再由奇函數的性質得g（0）=0可求?的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

=（Asinωx，Acosωx），

b

=（cosθ，sinθ），
∴f（x）=

a

•

b

+1=Asinωxcosθ+Acosωxsinθ+1
=Asin（ωx+θ）+1，
因為f（x）的圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為

π

2

，且當x=

π

12

時，f（x）取得最大值3．
所以A=2，T=

2π

w

=π，解得ω=2，故f（x）=2sin（2x+θ）+1，
由f（

π

12

）=2sin（2×

π

12

+θ）+1=3，解得θ=

π

3

．
故f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：將f（x）的圖象先向下平移1個單位得函數y=2sin（2x+

π

3

）的圖象，
再向左平移?（?＞0）個單位得g（x）的圖象，則g（x）=2sin[2（x+?）+

π

3

]，若g（x）為奇函數，
則g（0）=2sin（2?+

π

3

），即2?+

π

3

=kπ，（k∈Z），又?＞0，故?的最小值為

π

3

點評：本題為向量與三角函數的綜合應用，涉及數量積和圖象的變換以及奇函數的特點，屬中檔題．