Question

（2012•濰坊二模）已知雙曲線C：

x2

4

-

y2

5

=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P為C的右支上一點(diǎn)，且|PF₂|=|F₁F₂|，則

PF1

•

PF2

等于（　�。�

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），其中m＞2，根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線上且|PF₂|=|F₁F₂|，建立關(guān)于m、n的方程組，解之得m、n的值，從而得到向量

PF1

、

PF2

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可算出

PF1

•

PF2

的值．

解答：解：根據(jù)雙曲線方程

x2

4

-

y2

5

=1，
得a²=4，b²=5，c=

a2+b2

=3，所以雙曲線的焦點(diǎn)分別為F₁（-3，0）、F₂（3，0），
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），其中m＞2，則
∵點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF₂|=|F₁F₂|，
∴

m2 4 - n2 5 =1 (m-3)2+n2 =6

，解之得m=

16

3

，n=±

5

3

11

∵

PF1

=（-3-m，-n），

PF2

=（3-m，-n）
∴

PF1

•

PF2

=（-3-m）（3-m）+（-n）（-n）=m²-9+n²=

256

9

-9+

275

9

=50
故選C

點(diǎn)評：本題給出雙曲線上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離恰好等于焦距，求該點(diǎn)指向兩個(gè)焦點(diǎn)向量的數(shù)量積，著重考查了向量的數(shù)量積和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．