Question

17．已知不等式|x-a|+|2x-3|＞$\frac{a^2}{2}$．
（1）已知a=2，求不等式的解集；
（2）已知不等式的解集為R，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=2代入不等式，零點分段去絕對值，解不等式即可．
（2）根據絕對值的幾何意義，f（x）=|x-a|+|2x-3|的最小值為f（a）或$f（{\frac{3}{2}}）$，對其討論，可得答案．

解答 解：（1）當a=2時，可得|x-2|+|2x-3|＞2，
當x≥2時，3x-5＞2，得$x＞\frac{7}{3}$，
當$x＜\frac{3}{2}$時，-3x+5＞2，得x＜1，
當$\frac{3}{2}≤x＜2$時，x-1＞2，得：x∈∅，
綜上所述，不等式解集為$\left\{{x|x＞\frac{7}{3}}\right.$或x＜1}．
（2）∵f（x）=|x-a|+|2x-3|的最小值為f（a）或$f（{\frac{3}{2}}）$，
即$f（a）=2|{a-\frac{3}{2}}|，f（{\frac{3}{2}}）=|{a-\frac{3}{2}}|$，
∴$f{（x）_{min}}=|{a-\frac{3}{2}}|$，
令$|{a-\frac{3}{2}}|＞\frac{a^2}{2}$，
則$\frac{3}{2}-a＞\frac{a^2}{2}$或$\frac{3}{2}-a＜-\frac{a^2}{2}$，
可得-3＜a＜1或a∈∅，
綜上可得，a的取值范圍是（-3，1）．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法和最小值的幾何意義的運用．屬于中檔題．