Question

如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為點在邊所在直線上．

（I）求邊所在直線的方程；

（II）求矩形外接圓的方程；

（III）若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程．

Answer 1

解：（I）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．

又因為點在直線上，

所以邊所在直線的方程為．

．

（II）由解得點的坐標為，

因為矩形兩條對角線的交點為．

所以為矩形外接圓的圓心．

又．

從而矩形外接圓的方程為．

（III）因為動圓過點，所以是該圓的半徑，又因為動圓與圓外切，

所以，

即．

故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支．

因為實半軸長，半焦距．

所以虛半軸長．

從而動圓的圓心的軌跡方程為．