Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單函數(shù)；
②指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單函數(shù)；
③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．
⑤f（x）=|2^x-1|是單函數(shù)．
其中的真命題是（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①③④

D．②③⑤

Answer 1

分析：利用單函數(shù)的定義當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，分別對(duì)五個(gè)命題進(jìn)行判斷，可以得出正確結(jié)論．

解答：解：①對(duì)于函數(shù)f（x）=x²，由f（x₁）=f（x₂）得x12=x22，∴x₁=±x₂，所以①不是單函數(shù)，①錯(cuò)誤；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=2^x，由f（x₁）=f（x₂）得2x1=2x2，∴x₁=x₂，所以②是單函數(shù)，②正確；
③對(duì)于f（x）為單函數(shù)，則f（x₁）=f（x₂）時(shí)，有x₁=x₂，逆否命題是x₁≠x₂時(shí)，有f（x₁）≠f（x₂），所以③是正確的；
④若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足f（x₁）=f（x₂）時(shí)，有x₁=x₂，所以④是單函數(shù)，④正確；
⑤對(duì)于函數(shù)f（x）=|2^x-1|，當(dāng)f（x₁）=f（x₂）時(shí)，|2x1-1|=|2x2-1|，∴x₁=x₂或2x1+2x2=1，∴x₁與x₂不一定相等．所以⑤不是單函數(shù)，⑤錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)性質(zhì)的推導(dǎo)與判斷，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，有一定的綜合性．