Question

設函數f(x)=ax+

b

x

(a，b∈R)，若f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）設g（x）=lnx-f（x），若g（x）≤-1對定義域內的x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為1，則得到f′（1）=1，進而可得結果；
（Ⅱ）由于g（x）≤-1恒成立，等價于g（x）_max≤-1．利用導數可求得函數的最大值，可驗證此時滿足要求，從而得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數的導數為f′（x）=a-

b

x2

，
因為f（x）在點（1，f（x））處的切線斜率為1，
所以f′（1）=a-b=1，解得b=a-1；
（Ⅱ）因為g（x）=lnx-f（x），
所以g（x）=lnx-f（x）=lnx-（ax+

a-1

x

）=lnx-ax-

a-1

x

，
要使g（x）≤-1恒成立，即g（x）_max≤-1．
g′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

，
①當a=0時，g′(x)=

x-1

x2

，
當x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）單調遞減，
當x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調遞增，
則g（x）_max=g（1）=1，不符題意；
②當a≠0時，g′(x)=

-(ax+a-1)(x-1)

x2

=

-a[x-(-1+ 1 a )](x-1)

x2

=0⇒x=1，x=-1+

1

a

，
（1）若a＜0，-1+

1

a

＜0，
當x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調遞增，
則g（x）_min=g（1）=1-2a＞1＞-1，不符題意；
（2）若a＞0，
若0＜a≤

1

2

，-1+

1

a

＞1，
當x∈（0，1），g'（x）＜0，g（x）單調遞減，
這時g(-1+

1

a

)=ln(-1+

1

a

)+2a-1＞-1，不符題意；
若

1

2

＜a＜1，0＜-1+

1

a

＜1，x∈(0，-1+

1

a

)，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，
這時g（1）=1-2a＞1-2=-1，不符題意；
若a≥1，-1+

1

a

≤0，x∈（0，1），g'（x）＞0，g（x）單調遞增；
當x∈（1，+∞），g'（x）＜0，g（x）單調遞減，
則g（x）_max=g（1）=1-2a≤-1，符合題意；
綜上，得g（x）≤-1恒成立，實數a的取值范圍為a≥1．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數求函數的最值，考查轉化思想，本題綜合性強，運算量大，對能力要求較高．