Question

設函數f(x)=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）欲求函數f（x）的解析式，只須求出切線斜率的值及f（2），列出方程組即可；
（2）先求出函數的導數，再根據導函數大于0對應區間是單調遞增區間；導函數小于0對應區間是單調遞減區間．

解答：解：（1）方程7x-4y-12=0可化為y=

7

4

x-3．
當x=2時，y=

1

2

．又f′(x)=a+

b

x2

，
于是

2a- b 2 = 1 2 a+ b 4 = 7 4

解得

a=1 b=3

，故f(x)=x-

3

x

．
（2）由f(x)=x-

3

x

得：f′（x）=1+

3

x2

，當x≠0時，恒大于0，
∴函數f（x）在區間（-∞，0）和（0，+∞）上都是單調遞增函數．

點評：本題主要考查導數的幾何意義及利用導數求函數的單調區間．屬于基礎題．