Question

設P（a，b）（a•b≠0）、R（a，2）為坐標平面xoy上的點，直線OR（O為坐標原點）與拋物線y2=

4

ab

x交于點Q（異于O）．
（1）若對任意ab≠0，點Q在拋物線y=mx²+1（m≠0）上，試問當m為何值時，點P在某一圓上，并求出該圓方程M；
（2）若點P（a，b）（ab≠0）在橢圓x²+4y²=1上，試問：點Q能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；
（3）對（1）中點P所在圓方程M，設A、B是圓M上兩點，且滿足|OA|•|OB|=1，試問：是否存在一個定圓S，使直線AB恒與圓S相切．

Answer 1

分析：（1）把直線方程與拋物線方程聯立求得交點Q的坐標，代入y=mx²+1，求得a和b的關系式，進而判斷出當m=1時，點P（a，b）在圓M：x²+（y-1）²=1上
（2）設a=cosθ，b=

1

2

sinθ，進而根據點Q的坐標，求得y₂^Q-mx₂^Q=16，進而判斷出，點Q在雙曲線y²-4x²=16上．
（3）設AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而根據|OA|•|OB|=1，求得y₂•y₁，進而把直線與圓方程聯立，求得y₂•y₁，進而根據原點O到直線AB距離求得d，進而判斷出直線AB恒與圓S：x2+y2=

1

4

相切．

解答：解：（1）∵

y= 2 a x y2= 4 ab x

?Q(

a

b

，

2

b

)，
代入y=mx2+1∴

2

b

=m(

a

b

)2+1?ma²+b²-2b=0
當m=1時，點P（a，b）在圓M：x²+（y-1）²=1上
（2）∵P（a，b）在橢圓x²+4y²=1上，即a²+（2b）²=1
∴可設a=cosθ，b=

1

2

sinθ
又∵Q(

a

b

，

2

b

)，
∴

xQ= a b yQ= 2 b

?

y

2 Q

-m

x

2 Q

=(

2

b

)2-m(

a

b

)2=(

4

sinθ

)2-m(

2cosθ

sinθ

)2=

16

sin2θ

-

4mcos2θ

sin2θ

=16（令m=4）
∴點Q在雙曲線y²-4x²=16上
（3）∵圓M的方程為x²+（y-1）²=1
設AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|OA|•|OB|=1

x 2 1 + y 2 1

•

x 2 2 + y 2 2

=

1-(y1-1)2+ y 2 1

•

1-(y2-1)2+ y 2 2

=

2y1

•

2y2

=1?y1y2=

1

4

又∵

x2+(y-1)2=1 x=ky+λ

?（k²+1）y²+2（kλ-1）y+λ²=0，
∴y1y2=

λ2

k2+1

=

1

4

?

|λ|

k2+1

=

1

2

又原點O到直線AB距離d=

|λ|

1+k2

∴d=

1

2

，即原點O到直線AB的距離恒為

1

2

∴直線AB恒與圓S：x2+y2=

1

4

相切．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，因此倍受高考命題人的青睞．