Question

設空間向量

a

、

b

、

p

，則下列命題中正確命題的序號：

 

①若

p

=x

a

+y

b

，則

p

與

a

、

b

共面；
②若

p

與

a

、

b

共面，則

p

=x

a

+y

b

；
③若

MP

=x

MA

+y

MB

，則P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，則

MP

=x

MA

+y

MB

⑤若存在λ，μ∈R使λ

a

+μ

b

=0，則λ=μ=0
⑥若

a

，

b

不共線，則空間任一向量p=λ

a

+μ

b

 （λ，μ∈R）

Answer 1

分析：①若

p

=x

a

+y

b

，則由平面向量基本定理得

p

與

a

、

b

共面，故 ①正確．
②不正確，如

a

   ，  

b

都是零向量，而

p

 為非零向量時，此等式不成立．
③若

MP

=x

MA

+y

MB

，則 

MP

 ， 

MA

 ， 

MB

 共面，故四點 P、M、A、B共面，故③正確．
④不正確，如

MA

  ，

MB

，而

MP

為非零向量時，此關系不成立．
⑤不正確，如

a

和

b

互為反向量時，

a

+

b

=0，此時，λ=μ=1．
⑥若

a

，

b

不共線，當

p

與

a

 ， 

b

 所在平面垂直時，

p

=λ

a

+μ

b

 （λ，μ∈R） 不成立．

解答：解：①若

p

=x

a

+y

b

，則由平面向量基本定理得

p

與

a

、

b

共面，故 ①正確．
②若

p

與

a

、

b

共面，則

p

=x

a

+y

b

不一定成立，如

a

   ，  

b

都是零向量，而

p

 為非零向量時，此等式不成立．
③若

MP

=x

MA

+y

MB

，則 

MP

 ， 

MA

 ， 

MB

 共面，故四點 P、M、A、B共面，故③正確．
④若P、M、A、B共面，則

MP

=x

MA

+y

MB

 不一定成立，如

MA

  ，

MB

，而

MP

為非零向量時，此關系不成立．
⑤若存在λ，μ∈R使λ

a

+μ

b

=0，則λ=μ=0不一定成立，如

a

和

b

互為反向量時，

a

+

b

=0，此時，λ=μ=1．
⑥若

a

，

b

不共線，當

p

與

a

 ， 

b

 所在平面垂直時，

p

=λ

a

+μ

b

 （λ，μ∈R） 不成立．
故答案為：①③．

點評：本題考查平面向量基本定理的應用，注意特殊情況，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．