Question

（2011•東城區二模）已知sin（A+

π

4

）=

7 2

10

，A∈（0，

π

4

）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函數f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）cosA=cos（（A+

π

4

）-

π

4

），根據余弦函數差的公式代入求值．
（Ⅱ）將f（x）化簡，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos²x+4cosx=2（cosx+1）²-2，x∈R．根據cosx的范圍求出f（x）的最大最小值，確定值域．

解答：解：（Ⅰ）因為A∈（0，

π

4

）．
且sin（A+

π

4

）=

7 2

10

，
所以

π

4

＜A+

π

4

＜

π

2

，
cos（A+

π

4

）=

2

10

．
因為cosA=cos（（A+

π

4

）-

π

4

）
=cos（A+

π

4

）cos

π

4

+sin（A+

π

4

）sin

π

4

=

2

10

×

2

2

+ 

7 2

10

•

2

2

=

4

5

所以 cosA=

4

5

．                             
（Ⅱ）因為f（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos²x+4cosx
=2（cosx+1）²-2，x∈R．
因為cosx∈[-1，1]，
所以，當cosx=1時，f（x）取最大值6；
當cosx=-1時，f（x）取最小值-2．
所以函數f（x）的值域為[-2，6]．

點評：本題考查了三角函數的化簡求最值，以及余弦函數差的公式，還考查了二次函數的性質，綜合性比較強．